Saul Salazar Gomez: junio 2015

Es el lenguaje mediante símbolos y términos técnicos para elaborar formulas de calculos, que se aplican en la ciencia física, en la economía, etc.
Entre ellos se cabe destacar los siguientes:

Literal: se denomina a la representación general de una cierta magnitud

EJ. ► El área de un rectángulo es igual a:

A = bh

Donde : A,b y h son literales

A esta expresión para calcular el área se le conose como "Algebraica", a cada literal se le conoce como "Variable o Constante" y toda expresión algebraica representa una situacion general que usa números, letras y signos determinados dentro de una operación.

Variable: es una literal que representa a la totalidad de los elementos de un conjunto que puede tomar diferentes valores dentro de la expresión algebraica.

Ej. ► La fuerza de un cuerpo de 5 Kg esta dad por la expresión:

F = 5a

Donde: F y a son variables

Ahora con base a su relación en la expresión algebraica se tiene lo siguiente:

- Si o no depende de los valores de F entonses a es una variable independiente y F es una variable dependiente o viceversa.

Constante: son literales que representan siempre el mismo valor, no cambian. Si esta representa el mismo valor en todos los problemas se llaman constantes absolutas y si las literales cambian de valor de un problema a otro, pero no cambian a lo largo de un problema, se llama parametros o constantes arbitrarias.

Ej. ► En la formula del calculo de una parte del perímetro de la circunferencia, tenemos:

P = 3/2πr

- π: es una constante absoluta.
- 3/2: es un parametro o contante arbitraria que varia según sea el calculo de la circunferencia.

Termino: es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos no separados entre si por alguno de los signos + ó - .

Ej. ► x, -xy, 3m^2n^5

Los elementos de un termino son cuatro:

Signo: indica si el termino es positivo o negativo; es positivo cuando va precedido por signo (+) y es negativo cuando esta precedido por (-). Aunque no se escribe el signo positivo al principio de un termino algebraico.

Ej. ► 5xy es positivo y -5ab es negativo.

Coeficiente: cuando se tiene el producto de dos o mas factores; cada factor es llamado coeficiente de otro factor. Existen 2 tipos de coeficientes:

- Numérico: es el factor numérico en un termino.

Ej. ► En -2x^3y^2 el coeficiente numérico es -2

- Literal: es el factor literal de un termino.

Ej. ► En 2a^3b^2 los coeficientes literales son a y b.

Parte literal: esta formado por las letras y sus exponentes.

Ej. ► -4a^3b, a^3b es la parte literal.

Grado: esta determinado por los exponentes de las variables que contiene el termino. Existen dos tipos de grados.

- Absoluto: se obtiene sumando los exponentes que tienen las variables de la parte literal.

Ej. ► -m^6n^3p, su grado es igual a la suma de sus exponentes: 6+3+1=10

Relativo: se da como relación a una de sus literales.

Ej. ► m^6n^3p, el grado relativo de m=6, n=3 y p=1

Ahora por el numero de términos que consta una expansión algebraica, se clasifica en:

Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo termino:

Ej.► 4x^2y.

Polinomio: es la expresión algebraica que consta de mas de un termino, separados por signos de suma (+) o resta (-)

Ej. ► a^2 + ab + b^2 .

Cuado el polinomio tiene dos términos se denomina binomio (x+y) y cuando tiene tres se le llama trinomio (x+y+z).

Cuando en las expresiones algebraicas los términos que tienen la misma parte literal, reciben el nombre de términos semejantes.

Ej. ► -2xy^2, 1/2xy^2, xy^2, xy^2, 3xy^2

Las formas mas comunes de presentarsepresiones algebraicas, son las siguientes:

n = un numero cualquiera.

x-y = diferencia de 2 números.

x+y = suma de 2 números.

xy = el producto de 2 números.

x/y = el cociente de 2 números.

2x = el doble de un numero.

1/2x = la mitad de un numero.

Nota.

Si se tiene dos variables diferentes, estas no se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir, solo que se trasformen a un valor numérico o la misma variable.

Polinomios: son expresiones constituidas por un conjunto finito de variables y constantes, que utilizan las operaciones aritméticas, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Desigualdades

Una condición en

es una expresión que contiene la variable

y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye

por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.

El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.

La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.

Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

Si entonces para todo número real .
Si y entonces y .
Si y entonces y .

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad

Las siguientes desigualdades son equivalentes:

Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo

, que se muestra en la figura siguiente

Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad

Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades

las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:

Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo

Ejemplo 2.43.

Resolvamos la desigualdad

La desigualdad es equivalente a

El producto

puede cambiar de signo solo en

o en

, que son los puntos donde

. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos

En cada uno de estos intervalos

conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos

en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de

son ambos negativos y por lo tanto

en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente

Intervalo	$(-\infty ,3)$	$(7,\infty )$
Signo de
Signo de
Signo de

donde el signo

se obtiene aplicando las reglas de los signos.

Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es

Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.

En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.

Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad

Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones

. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$ ,

Tenemos el siguiente diagrama

Analizando el signo resultante, es decir el signo de

, vemos que la solución de la desigualdad dada es

Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad

La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes

Elaborando el diagrama de signos tenemos

Por lo tanto la solución de la desigualdad es

Desigualdades Cuadráticas

Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:

con $a\neq 0$ .

Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ donde $a\neq 0$ son

Además, fácilmente se verifica que $r_{1}$ y $r_{2}$ satisfacen las siguientes relaciones

La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquier trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$ en todos los casos posibles.

Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que

, pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por

, esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con

Se presentan dos casos

Caso 1 Si $b^{2}-4ac\geq 0$ .

En este caso la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ tiene raíces reales $r_{1}$ y $r_{2}$ , podemos factorizar el trinomio $ax^{2}+bx+c$ en la forma

, y la desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.

Caso 2 Si $b^{2}-4ac<0$ .

En este caso las raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ no son reales, sino complejas, y la factorización

no sirve para resolver la desigualdad.

Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:

Completando el cuadrado tenemos

Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman en su orden en

Como estamos suponiendo que

y sabemos que $b^{2}-4ac<0$ , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.

Ejemplo 2.46. Resolvamos la desigualdad

$3x^{2}-10x+2\leq 0$ .

En este caso

. Por lo tanto la ecuación $3x^{2}-10x+2=0$ tiene raíces reales que son

Luego la factorización de $3x^{2}-10x+2$ es

y la desigualdad original es equivalente a

Elaborando el diagrama de signos tenemos

Vemos que la solución de la desigualdad es el intervalo

Ejemplo 2.47. Resolvamos la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$ .

En este caso tenemos que

. Por lo tanto la ecuación $2x^{2}+4x+5=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$ es todo $\QTR{Bbb}{R}$ .

Ejemplo 2.48.

Resolvamos la desigualdad $-5x^{2}+7x-6>0$ .

La desigualdad es equivalente a $5x^{2}-7x+6<0$ .

Para esta última desigualdad tenemos que

. Por lo tanto la ecuación $5x^{2}-7x+6=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad $5x^{2}-7x+6<0$ es $\emptyset$ . Es decir, la desigualdad original $-5x^{2}+7x-6>0$ no tiene soluciones reales.

Para terminar esta sección, recalcamos que cuando

y $b^{2}-4ac<0$ , las desigualdades cuadráticas, o tienen como conjunto solución todo $\QTR{Bbb}{R}$ , o no tienen soluciones reales.

Desigualdades con Valor Absoluto

En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real

, que representamos por $\left| x\right|$ , mediante

También observamos en dicho capítulo que $\left| x\right|$ representa la distancia del origen al punto

, y de forma mas general que

representa la distancia entre $x_{1}$ y $x_{2}$ .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.

Propiedades del valor absoluto. Si

son números reales arbitrarios entonces

, $y\neq 0)$
(Desigualdad triangular)
y
La interpretación geométrica de $\left| x\right|$ nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
Sea $a\geq 0$ . Entonces
es equivalente a $-a\leq x\leq a$
es equivalente a $x\geq a$ o $x\leq -a$
Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
es equivalente a $x^{2}\leq y^{2}$